Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑作⊙O，點D為⊙O上一點，且CD=CB，連接DO并延長交CB的延長線于點E，連接OC.

(1) 判斷直線CD與⊙O的位置關系，并說明理由；

(2) 若BE=，DE=3，求⊙O的半徑及AC的長．

Answer 1

【答案】（1）DC是⊙O的切線，理由見解析；（2）半徑為1，AC=

【解析】

（1）欲證明CD是切線，只要證明OD⊥CD，利用全等三角形的性質即可證明；
（2）設⊙O的半徑為r．在Rt△OBE中，根據OE2=EB2+OB2，可得，推出r=1，可得OE=2，即有，可推出，則利用勾股定理和含有30°的直角三角形的性質，可求得OC=2，，再利用勾股定理求出即可解決問題；

（1）證明：∵CB=CD，CO=CO，OB=OD，

∴△OCB≌△OCD（SSS），

∴∠ODC=∠OBC=90°，

∴OD⊥DC，

∴DC是⊙O的切線；

（2）解： 設⊙O的半徑為r．

在Rt△OBE中，∵OE2=EB2+OB2，

∴，

∴

∴OE=3-1=2

Rt△ABC中，

∴

∴

Rt△BCO中,,

Rt△ABC中,