Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=BC，D是AC中點，BE平分∠ABD交AC于點E，點O是AB上一點，⊙O過B、E兩點，交BD于點G，交AB于點F．
（1）判斷直線AC與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）當BD=6，AB=10時，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）解：AC與⊙O相切．理由如下：

連結OE，如圖，

∵BE平分∠ABD，

∴∠OBE=∠DBO，

∵OE=OB，

∴∠OBE=∠OEB，

∴∠OBE=∠DBO，

∴OE∥BD，

∵AB=BC，D是AC中點，

∴BD⊥AC，

∴OE⊥AC，

∴AC與⊙O相切；

（2）解：設⊙O半徑為r，則AO=10﹣r，

由（1）知，OE∥BD，

∴△AOE∽△ABD，

∴ = ，即 = ，

∴r= ，

即⊙O半徑是

【解析】（1）連結OE，如圖，由BE平分∠ABD得到∠OBE=∠DBO，加上∠OBE=∠OEB，則∠OBE=∠DBO，于是可判斷OE∥BD，再利用等腰三角形的性質得到BD⊥AC，所以OE⊥AC，于是根據切線的判定定理可得AC與⊙O相切；（2）設⊙O半徑為r，則AO=10﹣r，證明△AOE∽△ABD，利用相似比得到 = ，然后解方程求出r即可．