Question

【題目】如圖1，已知二次函數y=ax2+x+c（a≠0）的圖象與y軸交于點A（0，4），與x軸交于點B、C，點C坐標為（8，0），連接AB、AC．

（1）請直接寫出二次函數y=ax2+x+c的表達式；

（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由；

（3）若點N在x軸上運動，當以點A、N、C為頂點的三角形是等腰三角形時，請寫出此時點N的坐標；

（4）如圖2，若點N在線段BC上運動（不與點B、C重合），過點N作NM∥AC，交AB于點M，當△AMN面積最大時，求此時點N的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+4；（2）△ABC是直角三角形．理由見解析；（3）點N的坐標分別為（﹣8，0）、（8﹣4，0）、（3，0）、（8+4，0）．（4）當△AMN面積最大時，N點坐標為（3，0）．

【解析】

（1）由點A、C的坐標利用待定系數法即可求出二次函數的解析式；（2）令二次函數解析式中y=0，求出點B的坐標，再由兩點間的距離公式求出線段AB、AC、BC的長度，由三者滿足AB2+AC2=BC2即可得出△ABC為直角三角形；（3）分別以A、C兩點為圓心，AC長為半徑畫弧，與x軸交于三個點，由AC的垂直平分線與x軸交于一點，即可求得點N的坐標；（4）設點N的坐標為（n，0）（-2<n<8），通過分割圖形法求面積，再根據相似三角形面積間的關系以及三角形的面積公式即可得出S△AMN關于n的二次函數關系式，根據二次函數的性質即可解決最值問題．

（1）∵二次函數y=ax2+x+c的圖象與y軸交于點A（0，4），與x軸交于點B、C，點C坐標為（8，0），

∴，

解得．

∴拋物線表達式：y=﹣x2+x+4；

（2）△ABC是直角三角形．

令y=0，則﹣x2+x+4=0，

解得x1=8，x2=﹣2，

∴點B的坐標為（﹣2，0），

由已知可得，

在Rt△ABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20，

在Rt△AOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80，

又∵BC=OB+OC=2+8=10，

∴在△ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2

∴△ABC是直角三角形．

（3）∵A（0，4），C（8，0），

∴AC==4，

①以A為圓心，以AC長為半徑作圓，交x軸于N，此時N的坐標為（﹣8，0），

②以C為圓心，以AC長為半徑作圓，交x軸于N，此時N的坐標為（8﹣4，0）或（8+4，0）

③作AC的垂直平分線，交x軸于N，此時N的坐標為（3，0），

綜上，若點N在x軸上運動，當以點A、N、C為頂點的三角形是等腰三角形時，點N的坐標分別為（﹣8，0）、（8﹣4，0）、（3，0）、（8+4，0）．

（4）如圖

，

設點N的坐標為（n，0），則BN=n+2，過M點作MD⊥x軸于點D，

∴MD∥OA，

∴△BMD∽△BAO，

∴=，

∵MN∥AC

∴=，

∴=，

∵OA=4，BC=10，BN=n+2

∴MD=（n+2），

∵S△AMN=S△ABN﹣S△BMN

=BNOA﹣BNMD

=（n+2）×4﹣×（n+2）2

=﹣（n﹣3）2+5，

當n=3時，△AMN面積最大是5，

∴N點坐標為（3，0）．

∴當△AMN面積最大時，N點坐標為（3，0）．