Question

【題目】如圖，已知直線分別交軸、軸于點、，拋物線過，兩點，點是線段上一動點，過點作軸于點，交拋物線于點．

（1）若拋物線的頂點的坐標為，其對稱軸交于點，

①求拋物線的解析式；

②是否存在點，使四邊形為菱形？并說明理由；

（2）當點的橫坐標為1時，是否存在這樣的拋物線，使得以、、為頂點的三角形與相似？若存在，求出滿足條件的拋物線的解析式：若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①或寫成y②不存在．（2）存在．

滿足條件的拋物線的解析式為或．

【解析】

（1）①利用頂點M將拋物線設為頂點式，代入點A的坐標即可求得；

（1）②根據PM∥MN可知，PD=MN時，四邊形MNPD是平行四邊形.在求m值來確定菱形；

（2）先求出PB的長，然后設拋物線為，代入A的坐標可得出a與b的關系.在利用∠DPB=∠OBA討論可求得

（1）①∵拋物線的頂點的坐標為

∴設

拋物線過點A，根據一次函數可得A(2，0)代入解析式得

a=－2

∴拋物線解析式為

②不存在．

理由如下：（如圖）

，

設點坐標為(m，－2m+4)，則，

∴PD=－(－2m+4)=，

∵，

當時，四邊形為平行四邊形，即，解得（舍去），，此時點坐標為，

∵，

∴，∴平行四邊形不為菱形，

∴不存在點，使四邊形為菱形；

（2）存在．

如圖，，，則，

當時，y=－2x+4=2，則，

∴PB=，

設拋物線的解析式，

把代入得4a+2b+4=0，解得b=－2a－2，

∴拋物線的解析式為，

當時，，則D(1，2－a)，

∴PD=－a，

∵，∴∠DPB=∠OBA，

∴當時，，即，解得，此時拋物線解析式為；

當時，，即，解得，此時拋物線解析式為y=；

綜上所述，滿足條件的拋物線的解析式為或y=．