Question

如圖，ABCD是矩形紙片，翻折∠B、∠D，使BC、AD恰好落在AC上．設F、H分別是B、D落在AC上的點，E、G分別是折痕CE與AB、AG與CD的交點．

（1）試說明四邊形AECG是平行四邊形；
（2）若矩形的一邊AB的長為3cm，當BC的長為多少時，四邊形AECG是菱形?

Answer 1

（1）說明詳見解析；（2）.

試題分析：本題考查的知識點較多，有矩形的性質、勾股定理、平行四邊形的性質、菱形的性質、翻折變換（軸對稱）等知識點.靈活掌握和應用這些性質、定理是解題的關鍵.
因為對折，所以 ,，又,可得AG//CE,即可得出四邊形AECG是平行四邊形.
由菱形的定義之可知F，H兩點重合，可得出AC=2BC,由此可計算邊BC的長.
試題解析：
解：（1）由題意，得∠GAH=∠DAC, ∠ECF=∠BCA（1分）
∵四邊形ABCD為矩形
∴AD∥BC
∴∠DAC＝∠BCA
∴∠GAH=∠ECF
∴AG∥CE（2分）
又∵AE∥CG
∴四邊形AECG是平行四邊形.
∵四邊形AECG是菱形
∴F、H重合
∴AC＝2BC（4分）
在Rt△ABC中,設BC＝x,則AC＝2x
在Rt△ABC中
即，
解得x＝，(x=舍去）
即線段BC的長為cm.