Question

【題目】如圖，在 Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，點E是AB邊上一點（點E不與點A、B重合），DE的延長線交⊙O于點G，DF⊥DG，且交BC于點F．

（1）求證：AE=BF．
（2）連接GB，EF，求證：GB∥EF．
（3）若AE=1，EB=3，求DG的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接BD，

在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，

∴∠A=∠C=45°，

∵AB為圓O的直徑，

∴∠ADB=90°，即BD⊥AC，

∴AD=DC=BD= AC，∠CBD=∠C=45°，

∴∠A=∠FBD，

∵DF⊥DG，

∴∠FDG=90°，

∴∠FDB+∠BDG=90°，

∵∠EDA+∠BDG=90°，

∴∠EDA=∠FDB，

在△AED和△BFD中，

，

∴△AED≌△BFD（ASA），

∴AE=BF

（2）證明：連接EF，BG，

∵△AED≌△BFD，

∴DE=DF，

∵∠EDF=90°，

∴△EDF是等腰直角三角形，

∴∠DEF=45°，

∵∠G=∠A=45°，

∴∠G=∠DEF，

∴GB∥EF

（3）解：∵AE=BF，AE=1，

∴BF=1，

在Rt△EBF中，∠EBF=90°，

∴根據勾股定理得：EF2=EB2+BF2，

∵EB=3，BF=1，

∴EF= = ，

∵△DEF為等腰直角三角形，∠EDF=90°，

∴cos∠DEF= ，

∵EF= ，

∴DE= × = ，

∵∠G=∠A，∠GEB=∠AED，

∴△GEB∽△AED，

∴ = ，即GEED=AEEB，

∴ GE=3，即GE= ，

則GD=GE+ED= ．

【解析】（1）連接BD，由△ABC為等腰直角三角形，可求出∠A與∠C的度數，根據AB為圓的直徑，得到∠ADB為直角，即BD垂直于AC，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到AD=DC=BD，進而得出∠A=∠FBD，再證明△AED≌△BFD，即可得證。
（2）連接EF，BG，由△AED≌△BFD，得到ED=FD，進而證得△DEF為等腰直角三角形，再證明∠G=∠DEF，即可得證；
（3）根據全等三角形對應邊相等得到AE=BF=1，在Rt△BEF中，利用勾股定理求出EF的長，利用銳角三角形函數定義求出DE的長，利用兩對角相等的三角形相似得到△GEB∽△AED，得對應邊成比例，即可求出GE的長，由GE+ED求出GD的長即可。