Question

【題目】如圖，已知點(diǎn)A是雙曲線y= 在第一象限分支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AO并延長(zhǎng)交另一分支于點(diǎn)B，以AB為邊作等邊△ABC，點(diǎn)C在第四象限內(nèi)，且隨著點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C的位置也在不斷變化，但點(diǎn)C始終在雙曲線y= 上運(yùn)動(dòng)，則k的值是 ．

Answer 1

【答案】﹣3
【解析】解：設(shè)A（a， ），

∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

∴OA=OB，

∵△ABC為等邊三角形，

∴AB⊥OC，OC= AO，

∵AO= ，

∴CO= ，

如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，則可得∠AOD=∠OCD（都是∠COD的余角），

設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y），則tan∠AOD=tan∠OCD，

即 = ，

解得y=﹣ a2x．

在Rt△COD中，CD2+OD2=OC2，

即y2+x2=3a2+ ，

將y=﹣ a2x代入，可得：

x2= ，

故x= ，y=﹣ a，

則xy=﹣3 ，即k=﹣3 ．

所以答案是：﹣3 ．

【考點(diǎn)精析】利用反比例函數(shù)的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知性質(zhì):當(dāng)k＞0時(shí)雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而減小； 當(dāng)k＜0時(shí)雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而增大；等邊三角形的三個(gè)角都相等并且每個(gè)角都是60°．