Question

【題目】已知，△ABC是等邊三角形，四邊形ACFE是平行四邊形，AE＝BC．

(1)如圖①，求證：ACFE是菱形；

(2)如圖②，點D是△ABC內一點，且∠ADB＝90°，∠EDC＝90°，∠ABD＝∠ACE．求證：ACFE是正方形．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；

【解析】

（1）由題意直接可證

（2）由題意可證△ABD≌△AGC 可證AG＝AD，∠BAD＝∠CAG可得△ADG是等邊三角形，且根據直角三角形斜邊上中線等于斜邊一半，可得DG＝EG＝CG＝AG. 即可證得結論．

證明：(1)∵△ABC是等邊三角形，

∴AC＝BC．

∵AE＝BC，

∴AC＝AE．

∵四邊形ACFE是平行四邊形，

∴ACFE是菱形．

(2)證明：連接AF交CE于點G，連接DG

由(1)得ACFE是菱形，

∴∠AGC＝90°，∠GAC＝∠EAG，CG＝EG．AG＝GF

∵∠ADB＝90°，

∴∠ADB＝∠AGC．

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝60°．

在△ABD和△ACG中，

∴△ABD≌△ACG．

∴AD＝AG，∠BAD＝∠CAG．

∴∠BAD+∠DAC＝∠CAG+∠DAC．

即∠BAC＝∠DAG．

∵∠BAC＝60°，

∴∠DAG＝60°．

∵AD＝AG，

∴△DAG是等邊三角形．

∴AG＝DG．

∵∠EDC＝90°，CG＝EG，

在Rt△EDC中，

有．

∵AG＝DG，

∴AG＝CG．

∴AF＝CE

又∵ACFE是菱形，

∴ACFE是正方形．