Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，CD切⊙O于點C，AD交⊙O于點E，AC平分∠BAD，連接BE．

（1）求證：CD⊥ED；

（2）若CD=4，AE=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）⊙O的半徑為．

【解析】

（Ⅰ）連接OC，根據CD切⊙O于點C得出OC⊥DC，由OA=OC，得出∠OAC=∠OCA，則可證明∠OCA=∠DAC，證得OC∥AD，根據平行線的性質即可證明；
（Ⅱ）根據圓周角定理證得∠AEB=90°，根據垂徑定理證得EF=BF，進而證得四邊形EFCD是矩形，從而證得BE=8，然后根據勾股定理求得AB，即可求得半徑．

解：（Ⅰ）證明：連接OC，交BE于F，由DC是切線得OC⊥DC；

又∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA，

∵AC平分∠BAD，

∴∠DAC＝∠OAC．

∴∠OCA＝∠DAC，

∴OC∥AD，

∴∠D＝∠OCD＝90°

即CD⊥ED．

（Ⅱ）∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB＝90°，

∵∠D＝90°，∴∠AEB＝∠D，

∴BE∥CD，

∵OC⊥CD，∴OC⊥BE，

∴EF＝BF，

∵OC∥ED，

∴四邊形EFCD是矩形，

∴EF＝CD＝4，∴BE＝8，

∵AE＝2，

∴AB＝＝＝2

∴⊙O的半徑為．