Question

【題目】如圖1，ABCD為正方形，直線MN分別過AD邊與BC邊的中點，點P為直線MN上任意一點，連接PB、PC分別與AD邊交于E、F兩點，PC與BD交于點K，連接AK與PB交于點G．

（1）探索發現
當點P落在AD邊上時，如圖2，試探究PB與AK的位置關系以及PB、PK、AK三者的數量關系（直接寫出無需證明）；
（2）延伸拓展
當點P落在正方形外，如圖1，以上兩個結論是否仍然成立？如果成立請給出證明，如果不成立請說明你的理由；
（3）應用推廣
如圖3，在等腰Rt△ABD中，其中∠BAD=90°，腰長為3，M、N分別為AD邊與BD邊的中點，K為線段DN中點，F為AD邊上靠近于D的三等分點．連接KF并延長與直線MN交于點P，連接PB分別與AD、AK交于點E、G．試求四邊形EFKG的周長及面積．

Answer 1

【答案】
（1）

解：PB⊥AK，PB=PK+AK；

理由：如圖2中，

∵點P在MN上，根據對稱性易得∠PBC=∠2且PB=PC，

又∠ABK=∠CBK=45°，

在△BKA和△BKC中，

∴△ABK≌△CBK，

∴∠2=∠3且AK=CK，

∴∠PBC=∠3．

又∠PBC+∠4=90°，

∴∠3+∠4=90°，

即PB⊥AK．

∴PB=PC=PK+CK=PK+AK．

（2）

以上兩個結論仍然成立，

理由如下：如圖1中，

∵點P在MN上，根據對稱性易得∠PBC=∠2且PB=PC，

又∠ABK=∠CBK=45°，

在△BKA和△BKC中，

∴△ABK≌△CBK，

∴∠2=∠3且AK=CK，

∴∠PBC=∠3．

又∠PBC+∠4=90°，

∴∠3+∠4=90°，

即PB⊥AK．

∴PB=PC=PK+CK=PK+AK．

（3）

如圖3中，過點B作AD的平行線交PK延長線與點C，連接CD．

∵FD∥BD，

∴△FDK∽△CBK．

又DK：BK=1：3，

∴FD：BC=1：3．

∵FD：AD=1：3，

∴BC=AD．

∵BC∥AD且AB⊥AD且AB=AD，

∴四邊形ABCD為正方形．

∵PB=PK+AK，

即（PE+BE）=（PF+FK）+AK，又PE=PF，

∴BE=FK+AK．

在Rt△EAB中，∵AE=1，AB=3，

∴BE= = ．

∵AG⊥BE（上一問結論），

∵Rt△AGE∽Rt△BGA，且相似比為1：3，

設EG=t，AG=3t，BG=9t，

∴BE=10t= ，

∴ ．

∴四邊形EFKG的周長=EF+FK+GK+EG=EF+（FK+AK）﹣AG+EG

=EF+BE﹣AG+EG=1+10t﹣3t+t=1+8t= ．

過點K作AD垂線，垂足為H，

∵HK∥AB且DK：DB=1：4，

∴KH= AB= ，

∴S四邊形EFGH=S△AFK﹣S△AEG= AFKH﹣ AGEG= 2 ﹣ 3tt= ．

【解析】●探索發現 PB⊥AK，PB=PK+AK，只要證明∠3=∠4=90°即可證明PB⊥AK，由△ABK≌△CBK，結合PB=PC即可解決問題．
●延伸拓展 以上兩個結論仍然成立，證明方法類似上面．
●應用推廣 如圖3中，過點B作AD的平行線交PK延長線與點C，連接CD，利用上面結論結合條件即可解決問題．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解相似三角形的應用的相關知識，掌握測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解．