Question

【題目】如圖，O為坐標原點，四邊形OABC為矩形，A（10，0），C（0，8），點P在邊BC上以每秒1個單位長的速度由點C向點B運動，同時點Q在邊AB上以每秒a個單位長的速度由點A向點B運動，運動時間為t秒（t＞0）．

（1）若反比例函數y= 圖象經過P點、Q點，求a的值；
（2）若OQ垂直平分AP，求a的值；
（3）當Q點運動到AB中點時，是否存在a使△OPQ為直角三角形？若存在，求出a的值，若不存在請說明理由；

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵A（10，0），C（0，8），點P在邊BC上以每秒1個單位長的速度由點C向點B運動，同時點Q在邊AB上以每秒a個單位長的速度由點A向點B運動，

∴P（t，8），Q（10，at），

∵反比例函數y= 圖象經過P點、Q點，

∴8t=10at，解得a= ；

（2）

解：∵OQ垂直平分AP，

∴OP=OA，PQ=QA，

∴ =10，解得t=6，

∴Q（10，6a），P（6，8），

∵PQ=QA，

∴（10﹣6）2+（6a﹣8）2=（6a）2，解得a=

（3）

解：如圖，

∵Q為AB的中點，

∴Q（10，4），P（t，8）．

當∠OPQ=90°時，OP2+PQ2=OQ2，即t2+82+（10﹣t）2+42=102+42，整理得，t2﹣10t+32=0，

∵△=（﹣10）2﹣4×32=100﹣128=﹣28＜0，

∴此方程無解，即此種情況不存在；

當∠POQ=90°時，OQP2+PQ2=OP2，即102+42+（10﹣t）2+42=t2+82，整理得，﹣20t=﹣168，解得t= ，

∵AQ=4，

∴at=4，即 a=4，解得a= ．

【解析】（1）先用t表示出P、Q兩點的坐標，再由反比例函數圖象上點的坐標特點即可得出結論；（2）先根據OQ垂直平分AP得出OP=OA，求出t的值，再由PQ=QA即可得出a的值；（3）分∠OPQ=90°與∠POQ=90°兩種情況進行分類討論．