Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣x2+2x經過原點O，且與直線y=x﹣2交于B，C兩點．

（1）求拋物線的頂點A的坐標及點B，C的坐標；
（2）求證：∠ABC=90°；
（3）在直線BC上方的拋物線上是否存在點P，使△PBC的面積最大？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（4）若點N為x軸上的一個動點，過點N作MN⊥x軸與拋物線交于點M，則是否存在以O，M，N為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵y=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1，

∴拋物線頂點坐標A（1，1），

聯立拋物線與直線解析式可得 ，解得 或 ，

∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）

（2）

解：證明：

由（1）可知B（2，0），C（﹣1，﹣3），A（1，1），

∴AB2=（1﹣2）2+12=2，BC2=（﹣1﹣2）2+（﹣3）2=18，AC2=（﹣1﹣1）2+（﹣3﹣1）2=20，

∴AC2=AB2+BC2，

∴△ABC是直角三角形，

∴∠ABC=90°

（3）

解：如圖，過點P作PG∥y軸，交直線BC于點G，

設P（t，﹣t2+2t），則G（t，t﹣2），

∵點P在直線BC上方，

∴PG=﹣t2+2t﹣（t﹣2）=﹣t2+t+2=﹣（t﹣ ）2+ ，

∴S△PBC=S△PGB+S△PGC= PG[2﹣（﹣1）]= PG=﹣ （t﹣ ）2+ ，

∵﹣ ＜0，

∴當t= 時，S△PBC有最大值，此時P點坐標為（ ， ），

即存在滿足條件的點P，其坐標為（ ， ）

（4）

解：∵∠ABC=∠ONM=90°，

∴當△OMN和△ABC相似時，有 或 ，

設N（m，0），

∵MN⊥x軸，

∴M（m，﹣m2+2m），

∴MN=|﹣m2+2m|，ON=|m|，

② 當 時，即 = ，解得m=5或m=﹣1或m=0（舍去）；

②當 = 時，即 = ，解得m= 或m= 或m=0（舍去）；

綜上可知存在滿足條件的N點，其坐標為（5，0）或（﹣1，0）或（ ，0）或（ ，0）

【解析】（1）把拋物線解析式化為頂點式可求得A點坐標，聯立拋物線與直線的解析式可求得B、C的坐標；（2）由A、B、C的坐標可求得AB2、BC2和AC2 ， 由勾股定理的逆定理可判定△ABC是直角三角形；（3）過點P作PG∥y軸，交直線BC于點G，設出P點坐標，則可表示出G點坐標，從而可表示出PG的長，則可表示出△PBC的面積，利用二次函數的性質可求得其最大值時P點坐標；（4）設出M、N的坐標，則可表示出MN和ON的長度，由相似三角形的性質可得到關于N點坐標的方程可求得N點坐標．