Question

【題目】一張正方形紙的內部被針扎了2010個孔，這些孔和正方形的頂點之中的任何3點都不共線．作若干條互不相交的線段，它們的端點都是這些孔或正方形的頂點，這些線段將正方形分割成一些三角形，并且在這些三角形的內部和邊上都不再有小孔．請問一共作了多少條線段？共得到了多少個三角形？

Answer 1

【答案】一共作了6031條線段，共得到4022個三角形．

【解析】

（1）畫出簡單圖形，從中找出規律，根據規律解答即可；

（2）根據每個三角形有3條邊，每條邊都是與另一個三角形的公共邊解答即可.

（1）如圖，

有1個點時，內部分割成4個三角形；

有2個點時，內部分割成4+2=6個三角形；

那么有3個點時，內部分割成4+2×2=8個三角形；

有4個點時，內部分割成4+2×3=10個三角形；

……

∴有n個點時，內部分割成4+2×（n-1）=（2n+2）個三角形；

∴有2010個點時，內部分割2×2010+2=4022個三角形；

（2）這4022個三角形共有4022×3條邊，其中有4條邊是原正方形的4條邊，不用另行作出，其他各邊都是作出的線段，每條線段恰為兩個三角形的公共邊，故作出的線段總數為（4022×3﹣4）÷2＝6031．