Question

【題目】如圖，D為⊙O上一點，點C在直徑BA的延長線上，∠CDA＝∠CBD．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）過點B作⊙O的切線交CD的延長線于點E，若BC＝4，tan∠ABD＝，求BE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）3．

【解析】

（1）連OD，OE，根據圓周角定理得到∠ADO＋∠1＝90°，而∠CDA＝∠CBD，∠CBD＝∠1，于是∠CDA＋∠ADO＝90°；

（2）根據切線的性質得到ED＝EB，OE⊥BD，則∠ABD＝∠OEB，得到tan∠CDA＝tan∠OEB＝＝，易證Rt△CDO∽Rt△CBE，得到＝＝＝，求得CD，然后在Rt△CBE中，運用勾股定理可計算出BE的長．

（1）連OD，OE，如圖，

∵AB為直徑，

∴∠ADB＝90°，即∠ADO+∠1＝90°，

又∵∠CDA＝∠CBD，

而∠CBD＝∠1，

∴∠1＝∠CDA，

∴∠CDA+∠ADO＝90°，即∠CDO＝90°，

∴CD是⊙O的切線；

（2）解：∵EB為⊙O的切線，

∴ED＝EB，OE⊥DB，

∴∠ABD+∠DBE＝90°，∠OEB+∠DBE＝90°，

∴∠ABD＝∠OEB，

∴∠CDA＝∠OEB．

而tan∠ABD＝，

∴tan∠CDA＝，

∴tan∠OEB＝＝，

∵Rt△CDO∽Rt△CBE，

∴＝＝＝，

∴CD＝×4＝2，

在Rt△CBE中，設BE＝x，

∴（x+2）2＝x2+42，

解得x＝3．

即BE的長為3．