Question

【題目】如圖1，拋物線C1：y＝x2+ax+b與直線l交于點A(8，6)，B(﹣4，0)，直線l交y軸于C，點P是直線l下方的拋物線C1上一動點（不與A、B點重點），PE⊥AB于點E，設點P的橫坐標為m．

（1）求拋物線C1和直線l的解析式；

（2）若AB＝3PE，求m的值；

（3）拋物線C1向右平移t個單位，得到拋物線C2，點P為拋物線C2上一點，且在x軸下方，PE⊥AB于點E，過點P作x軸的垂線交x軸于點M，交直線l于點Q．

①如圖2，當t＝4時，求△PQE周長的最大值；

②當點P在拋物線C2上運動時，線段PM，QM的值在不斷變化，若的最大值為1，則此時t＝　 　（直接寫出結果）．

Answer 1

【答案】（1）， y＝x+2；（2）m＝2；（3）①8+；②

【解析】

（1）將點A、B的坐標代入y＝x2+ax+b，即可求出拋物線的解析式；將A、B坐標代入y＝mx+n，即可求出直線l的解析式；

（2）如圖1，過A作AH⊥x軸，PF⊥x軸，EF∥x軸交PF于F，則△ABH∽△EPF，由AB＝3PE可求出PF＝4，EF＝2，設可P(m，m2﹣m﹣)，則E(m﹣2，m2﹣m+)，將E代入直線l的解析式即可求出m的值；

（3）①當t＝4時，平移后的解析式C2為：y＝x2﹣x，設P(m，m2﹣m)，則Q(m，m+2)，求出PQ的最大值，進一步即可求出△PQE的周長最大值；②先寫出平移后的解析式，再用含m、t的代數式表示出PM，MQ的長，由≤1可列出不等式，化簡后可由函數的圖象及性質求出t的值．

解：（1）將點A（8，6）、B（﹣4，0）代入，

得：，

解得：，

∴拋物線解析式為y＝x2﹣x﹣；

設直線l的解析式為y＝mx+n，

將A、B坐標代入，得：，

解得，

∴直線l的解析式為y＝x+2；

（2）如圖1，過A作AH⊥x軸，PF⊥x軸，EF∥x軸交PF于F，

∵∠CBO+∠BDE=90°，∠P+∠PDH=90°，

∴∠CBD=∠P，

又∵∠F=∠AHB=90°，

∴△ABH∽△EPF，

∵AB＝3PE，

∴BH＝3PF，AH＝3EF，

∵BH＝12，AH＝6，

∴PF＝4，EF＝2，

設P(m，m2﹣m﹣)，則E(m﹣2，m2﹣m+)，

將E代入直線l化簡得：m2﹣4m﹣2＝0，

解得m＝2；

（3）過A作AH⊥x軸于H，

①∵y＝x2﹣x﹣=，

∴當t＝4時，平移后的解析式C2為：y=＝x2﹣x，

設P(m，m2﹣m)，則Q(m，m+2)，

∴PQ＝-m2+2m+2＝﹣(m﹣6)2+8，

∴當m＝6時，PQ取最大值8，

∵∠ABH=∠EPQ，∠AHB=∠PEQ，

∴△PQE∽△ABH，

∴EQ：PE：PQ＝1：2：，

∴△PQE的周長最大值＝PQ+PE+EQ＝8+2×+＝8+；

②∵y＝=，

∴平移后的解析式為：y＝x2﹣+ ，

∴PM＝﹣m2+﹣，MQ＝m+2，≤1，

∴-m2+﹣≤0，

∴當m＝﹣＝t﹣1時，-m2+﹣有最大值0，

將m＝t﹣1代入-m2+﹣＝0，

解得t＝，

故答案為：．