Question

【題目】如圖1，在中，，，點、分別在邊、上，，連結，點、、分別為、、的中點．

（1）觀察猜想圖1中，線段與的數量關系是_______，位置關系是_______；

（2）探究證明把繞點逆時針方向旋轉到圖2的位置，連結、、，判斷的形狀，并說明理由；

（3）拓展延伸把繞點在平面內自由旋轉，若，，請直接寫出面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）是等腰直角三角形，理由見解析；（3）面積的最大值為.

【解析】

（1）利用三角形的中位線得出PM＝CE，PN＝BD，進而判斷出BD＝CE，即可得出結論，再利用三角形的中位線得出得出，最后用互余即可得出結論；

（2）先判斷出，得出，同（1）的方法得出，，即可得出，同（1）的方法即可得出結論；

（3）先判斷出最大時，的面積最大，進而求出，，即可得出，最后用面積公式即可得出結論．

解：（1）∵點、是、的中點

∴，

∵點、是、的中點

∴，

∵，

∴

∴

∵

∴

∵

∴

∵

∴

∴

∴

（2）結論：是等腰直角三角形．

證明：由旋轉知，

∵，

∴

∴，

∵由三角形中位線的性質可知，，

∴

∴是等腰三角形

∵同（1）的方法得，、

同（1）的方法得， 、

∴

∴

∵

∴

∴

∴是等腰直角三角形；

（3）∵由（2）得，是等腰直角三角形，

∴最大時，的面積最大

∴且在頂點上面時，，連接AM，AN，如圖：

∵在中，，

∴

∵在中，，

∴

∴

∴．

故答案是：（1），；（2）是等腰直角三角形，理由見解析；（3）面積的最大值為