Question

【題目】在直角坐標系xOy中，對于點P（x，y）和Q（x，y′），給出如下定義：若y′＝，則稱點Q為點P的“可控變點”．請問：若點P在函數y＝﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的圖象上，其“可控變點”Q的縱坐標y′的取值范圍是﹣16≤y′≤16，則實數a的值是____．

Answer 1

【答案】4.

【解析】

根據新定義，分析函數y=-x2+16在新定義下點P的“可控變點”橫坐標與縱坐標的對應關系，在分析a的取值范圍．

由定義可知：

①當0≤x≤a時，y′＝﹣x2+16，此時，拋物線y′的開口向下，故當0≤x≤a時，y′隨x的增大而減小（如圖）

即：﹣a2+16≤y′≤16，

②當﹣5≤x＜0時，y′＝x2﹣16，拋物線y′的開口向上，故當﹣5≤x＜0時，y′隨x的增大而減小（如圖），

即：﹣16＜y′≤9，

∵點P在函數y＝﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的圖象上，其“可控變點”Q的縱坐標y′的取值范圍是﹣16≤y′≤16，

∴﹣a2+16≥﹣16

∴a2≤32，

∴﹣4≤a≤4，

又∵﹣5≤x≤a，

∴a＝4，

在函數y＝﹣x2+16圖象上的點P，當a＝4時，其“可控變點”Q的縱坐標y′的取值范圍是﹣16≤y′≤16，

故答案為4.