Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，△ABC內接于⊙O．點D在⊙O 上，BD平分∠ABC交AC于點E，DF⊥BC交BC的延長線于點F．

（1）求證：FD是⊙O的切線；

（2）若BD=8，sin∠DBF=，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】

(1)連接OD，根據角平分線的定義得到∠ABD=∠DBF，由等腰三角形的性質得到∠ABD=∠ODB，等量代換得到∠DBF=∠ODB，推出∠ODF=90°，根據切線的判定定理得到結論；

（2）連接AD，根據圓周角定理得到∠ADE=90°，根據角平分線的定義得到∠DBF=∠ABD，解直角三角形得到AD=6，在Rt△ADE中，解直角三角形得到DE=．

（1）連接OD，

∵BD平分∠ABC交AC于點E，

∴∠ABD=∠DBF，

∵OB=OD，

∴∠ABD=∠ODB，

∴∠DBF=∠ODB，

∵∠DBF+∠BDF=90°，

∴∠ODB+∠BDF=90°，

∴∠ODF=90°，

∴FD是⊙O的切線；

（2）連接AD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADE=90°，

∵BD平分∠ABC交AC于點E，

∴∠DBF=∠ABD，

在Rt△ABD中，BD=8，

∵sin∠ABD=sin∠DBF=，

∴AB=10，AD=6，

∵∠DAC=∠DBC，

∴sin∠DAE=sin∠DBC=，

在Rt△ADE中，sin∠DAC=，

設DE=3x，則AE=5x，

∴AD=4x，

∴tan∠DAE=

∴DE=．