Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c（a＞0）與x軸的兩個交點分別為A（﹣1，0）、B（3，0），與y 軸的交點為點D，頂點為C，

（1）寫出該拋物線的對稱軸方程；

（2）當點C變化，使60°≤∠ACB≤90°時，求出a的取值范圍；

（3）作直線CD交x軸于點E，問：在y軸上是否存在點F，使得△CEF是一個等腰直角三角形？若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）對稱軸x=1　（2）當點C變化，使60°≤∠ACB≤90°時， ≤a≤； （3） a=或a=或a=．

【解析】（1）根據拋物線y=ax2+bx+c（a＞0）與x軸的兩個交點分別為A（﹣1，0）、B（3，0），即可求出拋物線的對稱軸；

（2）分別求出當∠ACB=60°和∠ACB=90°時a的值，進而求出使60°≤∠ACB≤90°時，求出a的取值范圍；

（3）分別寫出C點和D點的坐標以及E點的坐標，再進行分類討論證明△EHF≌△EKC，列出a的方程，解出a的值．

解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c（a＞0）與x軸的兩個交點分別為A（﹣1，0）、B（3，0），

∴拋物線的對稱軸x==1；

（2）當∠ACB=60°時，△ABC是等邊三角形，即點C坐標為（1，﹣2），

設y=a（x+1）（x﹣3），把C點坐標（1，﹣2）代入，

解得a=；

當∠ACB=90°時，△ABC是等腰直角三角形，即點C坐標為（1，﹣2），

設y=a（x+1）（x﹣3），把C點坐標（1，﹣2）代入，

解得a=，

即當點C變化，使60°≤∠ACB≤90°時， ≤a≤；

（3）由于C（1，﹣4a），D（0，﹣3a），

設直線CD的解析式為y=kx+b，

即，

解得k=﹣a，b=﹣3a，

直線CD的解析式為y=﹣a（x+3），

故求出E點坐標為（﹣3，0）；

分兩類情況進行討論；

如圖1，

△EHF≌△FKC，

即HF=CK=3，

4a+1=3，

解得a=；

②如圖2，

△EHF≌△FKC，

即EK=HF=3；

即4a=3，解得a=；

同理，當點F位于y軸負半軸上，a=．

綜上可知在y軸上存在點F，使得△CEF是一個等腰直角三角形，且a=或a=或a=．

“點睛”本題主要考查二次函數的綜合題的知識點，解答本題的關鍵是能夠利用數形結合進行解題，此題的難度較大，特別是第三問需要進行分類討論解決問題．