Question

【題目】如圖，邊長為2的正方形ABCD內接于⊙O，點E是 上一點（不與A、B重合），點F是 上一點，連接OE，OF，分別與AB，BC交于點G，H，有下列結論：
① = ；
②△OGH是等腰三角形；
③四邊形OGBH的面積隨著點E位置的變化而變化；
④若BG=1﹣ ，則BG，GE， 圍成的面積是 + ．
其中正確的是（把所有正確結論的序號都填上）

Answer 1

【答案】①②
【解析】如圖所示，連接OC、OB、CF、BE．

∵∠BOE+∠BOF=90°，∠COF+∠BOF=90°，

∴∠BOE=∠COF，

∴ = ，

∵ = ，

∴ = ；故①正確，

在△BOG與△COH中，

，

∴△BOG≌△COH（ASA），

∴OG=OH，
∵∠HOG=90°

∴△OGH是等腰直角三角形，②正確，

∴S△OBG=S△OCH，

∴S四邊形OGBH=S△BOC= S正方形ABCD=定值，故③錯誤；

作OM⊥AB于M，則OM=BM= AB=1，OB= OM= ，

∴GM= ，

∴tan∠GOM= = ，

∴∠GOM=30°，

∵∠BOM=45°，

∴∠BOG=45°﹣30°=15°，

∴扇形BOE的面積= = ，

∵BG=1﹣ ，

∴AG=1+ ，

過G作GP⊥BO于P，

∴PG=PB= ﹣ ，

∴△OBG的面積= × ×（ ﹣ ）= ﹣ ，

∴BG，GE， 圍成的面積=扇形BOE的面積﹣△BOG的面積= ﹣ + ，故④錯誤．

所以答案是：①②．

【考點精析】根據題目的已知條件，利用正多邊形和圓和扇形面積計算公式的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握圓的內接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內對角；圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等；在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形；扇形面積S=π（R2-r2）．