Question

【題目】如圖，點O為正方形ABCD的中心，AD＝1，BE平分∠DBC交DC于點E，延長BC到點F，使BD＝BF，連結DF交BE的延長線于點H，連結OH交DC于點G，連結HC．則以下四個結論中：OH∥BF；②OG：GH＝2：1；③GH＝；④∠CHF＝2∠EBC；⑤CH2＝HEHB．正確結論的個數為（　　）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】D

【解析】

①過點E作EP⊥BD于點P，求出EC=CF，證明△BCE≌△DCF，然后可得BH⊥DF，再根據等腰三角形三線合一與中位線定理可得出結論；

②③由三角形中位線定理知，OG＝BC＝，GH＝CF＝，然后可得結論；

④根據四邊形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分線可求出∠EBC＝22.5°，進而得到∠F＝67.5°，再由H是DF中點，可得CH＝HF，求出∠CHF即可得出結論；

⑤證明△HEC∽△HCB，則HC：HB＝HE：HC，即CH2＝HEHB，即可得到⑤正確．

解：①過點E作EP⊥BD于點P，則EP＝EC，

∵∠BDC＝45°，

∴PD=EP，

易證△BEP≌△BEC，

∴BP=BC，

∵BD＝BF，

∴PD=CF，

∴EC=CF，

∵∠BCE＝∠DCF，BC＝DC，

∴△BCE≌△DCF（SAS），

∴∠CBE＝∠CDF，

∵∠CBE+∠BEC＝90°，∠BEC＝∠DEH，

∴∠DEH+∠CDF＝90°，

∴∠BHD＝∠BHF＝90°，即BH⊥DF，

∴DH＝HF，

∵OD＝OB，

∴OH是△DBF的中位線，

∴OH∥BF，故①正確；

②③∵點O為正方形ABCD的中心，AD＝1，BD＝BF，

∴BD＝BF＝，

由三角形中位線定理知，OG＝BC＝，GH＝CF＝，

∴OG：GH＝1：（﹣1），

故②錯誤，③正確；

④∵四邊形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分線，

∴∠EBC＝22.5°，

∵∠BHF＝90°，

∴∠F＝90°﹣22.5°＝67.5°，

∵H是DF中點，

∴CH＝HF，

∴∠CHF＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°，

∴∠CHF＝2∠EBC，故④正確；

⑤∵∠CHF＝∠CDF+∠ECH＝2∠EBC，∠EBC＝∠CDF，

∴∠ECH＝∠CBH，

∵∠CHE＝CHB，

∴△HEC∽△HCB，

∴HC：HB＝HE：HC，即CH2＝HEHB，故⑤正確．

故選：D．