Question

【題目】將反比例函數的圖像繞著原點O順時針旋轉45°得到新的雙曲線圖像（如圖1所示），直線軸，F為x軸上的一個定點，已知，圖像上的任意一點P到F的距離與直線l的距離之比為定值，記為e，即．

（1）如圖1，若直線l經過點B(1,0),雙曲線的解析式為，且，則F點的坐標為__________．

（2）如圖2，若直線l經過點B(1,0), 雙曲線的解析式為，且，P為雙曲線在第一象限內圖像上的動點，連接PF，Q為線段PF上靠近點P的三等分點，連接HQ，在點P運動的過程中，當時，點P的坐標為__________．

Answer 1

【答案】F(4,0)

【解析】

（1）令y=0求出x的值，結合e=2可得出點A的坐標，由點B的坐標及e=2可求出AF的長度，將其代入OF=OB+AB+AF中即可求出點F的坐標；
（2）設點P的坐標為（x，），則點H的坐標為（1，），由Q為線段PF上靠近點P的三等分點，可得出點Q的坐標為（x+，），利用兩點間的距離公式列方程解答即可；

解：（1）如圖：

當y=0時，±，
解得：x1=2，x2=-2（舍去），
∴點A的坐標為（2，0）．
∵點B的坐標為（1，0），
∴AB=1．
∵e=2，
∴，
∴AF=2，
∴OF=OB+AB+AF=4，
∴F點的坐標為（4，0）．
故答案為：（4，0）．

（2）設點P的坐標為（x，），則點H的坐標為（1，）．
∵點Q為線段PF上靠近點P的三等分點，點F的坐標為（5，0），
∴點Q的坐標為（x+，）．
∵點H的坐標為（1，），HQ=HP，
∴（x+-1）2+（-）2=[（x-1）]2，
化簡得：15x2-48x+39=0，
解得：x1=，x2=1（舍去），
∴點P的坐標為（，）．

故答案為：（，）．