Question

【題目】已知拋物線F：y=x2+bx+c的圖象經過坐標原點O，且與x軸另一交點為（﹣，0）．

（1）求拋物線F的解析式；

（2）如圖1，直線l：y=x+m（m＞0）與拋物線F相交于點A（x1，y1）和點B（x2，y2）（點A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）；

（3）在（2）中，若m=，設點A′是點A關于原點O的對稱點，如圖2．

①判斷△AA′B的形狀，并說明理由；

②平面內是否存在點P，使得以點A、B、A′、P為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+x；（2）y2﹣y1=；（3）①△AA′B為等邊三角形，理由見解析；②平面內存在點P，使得以點A、B、A′、P為頂點的四邊形是菱形，點P的坐標為（2，）、（﹣ ）和（﹣，﹣2）

【解析】

（1）根據點的坐標，利用待定系數法即可求出拋物線F的解析式；

（2）將直線l的解析式代入拋物線F的解析式中，可求出x1、x2的值，利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出y1、y2的值，做差后即可得出y2-y1的值；

（3）根據m的值可得出點A、B的坐標，利用對稱性求出點A′的坐標．

①利用兩點間的距離公式（勾股定理）可求出AB、AA′、A′B的值，由三者相等即可得出△AA′B為等邊三角形；

②根據等邊三角形的性質結合菱形的性質，可得出存在符合題意得點P，設點P的坐標為（x，y），分三種情況考慮：（i）當A′B為對角線時，根據菱形的性質（對角線互相平分）可求出點P的坐標；（ii）當AB為對角線時，根據菱形的性質（對角線互相平分）可求出點P的坐標；（iii）當AA′為對角線時，根據菱形的性質（對角線互相平分）可求出點P的坐標．綜上即可得出結論．

（1）∵拋物線y=x2+bx+c的圖象經過點（0，0）和（﹣，0），

∴，解得：，

∴拋物線F的解析式為y=x2+x．

（2）將y=x+m代入y=x2+x，得：x2=m，

解得：x1=﹣，x2=，

∴y1=﹣+m，y2=+m，

∴y2﹣y1=（+m）﹣（﹣+m）=（m＞0）．

（3）∵m=，

∴點A的坐標為（﹣，），點B的坐標為（，2）．

∵點A′是點A關于原點O的對稱點，

∴點A′的坐標為（，﹣）．

①△AA′B為等邊三角形，理由如下：

∵A（﹣，），B（，2），A′（，﹣），

∴AA′=，AB=，A′B=，

∴AA′=AB=A′B，

∴△AA′B為等邊三角形．

②∵△AA′B為等邊三角形，

∴存在符合題意的點P，且以點A、B、A′、P為頂點的菱形分三種情況，設點P的坐標為（x，y）．

（i）當A′B為對角線時，有，

解得，

∴點P的坐標為（2，）；

（ii）當AB為對角線時，有，

解得：，

∴點P的坐標為（﹣，）；

（iii）當AA′為對角線時，有，

解得：，

∴點P的坐標為（﹣，﹣2）．

綜上所述：平面內存在點P，使得以點A、B、A′、P為頂點的四邊形是菱形，點P的坐標為（2，）、（﹣ ）和（﹣，﹣2）．