Question

【題目】如圖，菱形ABCD的邊長為20cm，∠ABC＝120°．動點P、Q同時從點A出發，其中P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路線向點C運動；Q以2cm/s的速度，沿A→C的路線向點C運動．當P、Q到達終點C時，整個運動隨之結束，設運動時間為t秒．

（1）在點P、Q運動過程中，請判斷PQ與對角線AC的位置關系，并說明理由；

（2）若點Q關于菱形ABCD的對角線交點O的對稱點為M，過點P且垂直于AB的直線l交菱形ABCD的邊AD（或CD）于點N．

①當t為何值時，點P、M、N在一直線上？

②當點P、M、N不在一直線上時，是否存在這樣的t，使得△PMN是以PN為一直角邊的直角三角形？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1） 若0＜t≤5，則AP＝4t，AQ＝2t. 則 ＝＝，

又 ∵ AO＝10，AB＝20，∴ ＝＝.∴ ＝，

又 ∠CAB＝30°，∴ △APQ∽△ABO，∴ ∠AQP＝90°，即PQ⊥AC. ………………4分

當5﹤t≤10時，同理可由△PCQ∽△BCO 可得∠PQC＝90°，即PQ⊥AC（考慮一種情況即可）

∴ 在點P、Q運動過程中，始終有PQ⊥AC.

（2）① 如圖，在RtAPM中，易知AM＝，又AQ＝2t，

QM＝20－4t.

由AQ＋QM＝AM 得2t＋20－4t＝

解得t＝，∴ 當t＝時，點P、M、N在一直線上. …………………………8分

② 存在這樣的t，使△PMN是以PN為一直角邊的直角三角形.

設l交AC于H.

如圖1，當點N在AD上時，若PN⊥MN，則∠NMH＝30°.

∴ MH＝2NH，得 20－4t－＝2× 解得t＝2， …………………10分

如圖2，當點N在CD上時，若PM⊥MN，則∠HMP＝30°.∴ MH＝2PH，同理可得t＝ .

故 當t＝2或 時，存在以PN為一直角邊的直角三角形. …………………12分

【解析】

（1）此問需分兩種情況，當0＜t≤5及5＜t≤10兩部分分別討論得PQ⊥AC．

（2）①由于點P、M、N在一直線上，則AQ+QM=AM，代入求得t的值．

②假設存在這樣的t，使得△PMN是以PN為一直角邊的直角三角形，但是需分點N在AD上時和點N在CD上時兩種情況分別討論．

解答：解：（1）若0＜t≤5，則AP=4t，AQ=2t．

則==，

又∵AO=10，AB=20，∴==．

∴=．又∠CAB=30°，∴△APQ∽△ABO．

∴∠AQP=90°，即PQ⊥AC．

當5＜t≤10時，同理，可由△PCQ∽△BCO得∠PQC=90°，即PQ⊥AC．

∴在點P、Q運動過程中，始終有PQ⊥AC．

（2）①如圖，在Rt△APM中，∵∠PAM=30°，AP=4t，

∴AM=．

在△APQ中，∠AQP=90°，

∴AQ=AP?cos30°=2t，

∴QM=AC-2AQ=20-4t．

由AQ+QM=AM得：2t+20-4

t=，

解得t=．

∴當t=時，點P、M、N在一直線上．

②存在這樣的t，使△PMN是以PN為一直角邊的直角三角形．

設l交AC于H．

如圖1，當點N在AD上時，若PN⊥MN，則∠NMH=30°．

∴MH=2NH．得20-4t-t=2×，解得t=2．

如圖2，當點N在CD上時，若PM⊥PN，則∠HMP=30°．

∴MH=2PH，同理可得t=．

故當t=2或時，存在以PN為一直角邊的直角三角形．