Question

【題目】如圖，BC為⊙O的直徑，A為⊙O上的點，以BC、AB為邊作ABCD，⊙O交AD于點E，連結BE，點P為過點B的⊙O的切線上一點，連結PE，且滿足∠PEA=∠ABE．

（1）求證：PB=PE；

（2）若sin∠P=， 求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；

【解析】

（1）根據切線的性質求得∠ABP=∠AEB，根據已知條件即可求得∠PBE=∠PEB，根據等角對等邊即可證明結論；

（2）連接EC，延長DA交PB于F，根據平行弦的性質得出，進而求得AB=CE=CD，得出三角形CED是等腰三角形，在等腰三角形PBE中根據勾股定理求得BE的長，進而求得，由于∠AEB=∠EBC，∠ABP=∠AEB，得出∠ABP=∠EBC，從而得出∠PBE=∠ABC=∠D，求得△CDE∽△PBE，得出.

（1）證明：∵PB是⊙O的切線，

∴∠ABP=∠AEB，

∵∠PEA=∠ABE．

∴∠PBE=∠PEB，

∴PB=PE；

（2）連接EC，延長DA交PB于F，

∵PB是⊙O的切線，

∴BC⊥PB，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴EF⊥PB，

∵sin∠P=，

設PE=5a，EF=3a，則PF=4a，

∵PB=PE=5a，

∴BF=a，

∴BE=，

∴，

∵AD∥BC，

∴，

∴AB=CE，

∵AB=CD，

∴CE=CD，

∴∠D=∠CED，

∵AD∥BC，

∴∠AEB=∠EBC，

∵∠ABP=∠AEB，

∴∠ABP=∠EBC，

∴∠PBE=∠ABC，

∴∠PBE=∠D，

∵∠PBE=∠PEB，

∴△CDE∽△PBE，

∴.