Question

【題目】如圖，∠AOB=90°，反比例函數y=﹣ （x＜0）的圖象過點A（﹣1，a），反比例函數y= （k＞0，x＞0）的圖象過點B，且AB∥x軸．
（1）求a和k的值；
（2）過點B作MN∥OA，交x軸于點M，交y軸于點N，交雙曲線y= 于另一點，求△OBC的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵反比例函數y=﹣ （x＜0）的圖象過點A（﹣1，a），

∴a=﹣ =2，

∴A（﹣1，2），

過A作AE⊥x軸于E，BF⊥⊥x軸于F，

∴AE=2，OE=1，

∵AB∥x軸，

∴BF=2，

∵∠AOB=90°，

∴∠EAO+∠AOE=∠AOE+∠BOF=90°，

∴∠EAO=∠BOF，

∴△AEO∽△OFB，

∴ ，

∴OF=4，

∴B（4，2），

∴k=4×2=8；

（2）解：∵直線OA過A（﹣1，2），

∴直線AO的解析式為y=﹣2x，

∵MN∥OA，

∴設直線MN的解析式為y=﹣2x+b，

∴2=﹣2×4+b，

∴b=10，

∴直線MN的解析式為y=﹣2x+10，

∵直線MN交x軸于點M，交y軸于點N，

∴M（5，0），N（0，10），

解 得， 或 ，

∴C（1，8），

∴△OBC的面積=S△OMN﹣S△OCN﹣S△OBM= 5×10﹣ ×10×1﹣ ×5×2=15．

【解析】（1）把A（﹣1，a）代入反比例函數y=﹣ 得到A（﹣1，2），過A作AE⊥x軸于E，BF⊥⊥x軸于F，根據相似三角形的性質得到B（4，2），于是得到k=4×2=8；（2）求的直線AO的解析式為y=﹣2x，設直線MN的解析式為y=﹣2x+b，得到直線MN的解析式為y=﹣2x+10，解方程組得到C（1，8），于是得到結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解比例系數k的幾何意義的相關知識，掌握幾何意義：表示反比例函數圖像上的點向兩坐標軸所作的垂線段與兩坐標軸圍成的矩形的面積．