Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，以直角邊AB為直徑作半圓交AC于點D，以AD為邊作等邊△ADE，延長ED交BC于點F，BC=2 ，則圖中陰影部分的面積為 ． （結果不取近似值）

Answer 1

【答案】3 ﹣ π
【解析】解：如圖所示：設半圓的圓心為O，連接DO，過D作DG⊥AB于點G，過D作DN⊥CB于點N，
∵在Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴∠ACB=60°，∠ABC=90°，
∵以AD為邊作等邊△ADE，
∴∠EAD=60°，
∴∠EAB=60°+30°=90°，
可得：AE∥BC，
則△ADE∽△CDF，
∴△CDF是等邊三角形，
∵在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=2 ，
∴AC=4 ，AB=6，∠DOG=60°，
則AO=BO=3，
故DG=DOsin60°= ，
則AD=3 ，DC=AC﹣AD= ，
故DN=DCsin60°= × = ，
則S陰影=S△ABC﹣S△AOD﹣S扇形DOB﹣S△DCF
= ×2 ×6﹣ ×3× ﹣ ﹣ × ×
=3 ﹣ π．
所以答案是：3 ﹣ π．
【考點精析】認真審題，首先需要了解勾股定理的概念(直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2)，還要掌握圓周角定理(頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半)的相關知識才是答題的關鍵．