Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD與過點C的切線互相垂直，垂足為點D，AD交⊙O于點E，連接CE，CB．
（1）求證：CE=CB；
（2）若AC=2 ，CE= ，求AE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明連接OC，

∵CD是⊙O的切線，

∴OC⊥CD．

∵AD⊥CD，

∴OC∥AD，

∴∠1=∠3．

又OA=OC，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠2，

∴CE=CB；

（2）解：∵AB是直徑，

∴∠ACB=90°，

∵AC=2 ，CB=CE= ，

∴AB= = =5．

∵∠ADC=∠ACB=90°，∠1=∠2，

∴△ADC∽△ACB，

∴ = = ，即 = = ，

∴AD=4，DC=2．

在直角△DCE中，DE= =1，

∴AE=AD﹣ED=4﹣1=3．

【解析】（1）連接OC，利用切線的性質和已知條件推知OC∥AD，根據平行線的性質和等角對等邊證得結論；（2）AE=AD﹣ED，通過相似三角形△ADC∽△ACB的對應邊成比例求得AD=4，DC=2．在直角△DCE中，由勾股定理得到DE= =1，故AE=AD﹣ED=3．
【考點精析】掌握勾股定理的概念和切線的性質定理是解答本題的根本，需要知道直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．