Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=10（AB＞AD），AD與BC之間的距離為6，點E在線段AB上移動，以E為圓心，AE長為半徑作⊙E．

（1）如圖1，若E是AB的中點，求⊙E在AD所在的直線上截得的弦長；

（2）如圖2，若⊙E與BC所在的直線相切，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）AF=8；（2）AE=．

【解析】

（1）設AD和圓相交于F，連接BF，由圓周角定理可得BF⊥AD，所以BF=8，根據勾股定理即可求出AF的長；
（2）過點B作BM⊥AD于點M，連接EF．利用平行線AD∥CB的性質推知內錯角∠DAB=∠ABM；然后在Rt△ABM和Rt△BEG中根據三角函數的定義求得比例式，利用比例的性質即可求得AE的值．

解：（1）設AD和圓相交于F，連接BF，

∵AB是圓的直徑，

∴∠AFB=90°，

∴BF⊥AD，

∵AD與BC之間的距離為6，

∴BF=6，

∴AB=10，

∴AF==8；

（2）過點B作BM⊥AD于點M，連接EG．

∵AD與BC之間的距離為6，

∴BM=6；

∴sin∠DAB==；

又∵CG是⊙E的切線，

∴EG⊥CG，

∴cos∠BEG=；

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC（平行四邊形的對邊相互平行），

∴∠DAB=∠ABG（兩直線平行，內錯角相等）；

∵AE=EG（⊙E的半徑），

∴

即，

∴AE=．