Question

【題目】已知四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，AC是⊙O的直徑，DE⊥AB，垂足為E．

（1）延長DE交⊙O于點F，延長DC，FB交于點P，如圖1．求證：PC=PB；

（2）過點B作BG⊥AD，垂足為G，BG交DE于點H，且點O和點A都在DE的左側，如圖2．若AB= ，DH=1，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）∠BDE=20°．

【解析】

（1）根據已知條件易證BC∥DF，根據平行線的性質可得∠F=∠PBC；再利用同角的補角相等證得∠F=∠PCB，所以∠PBC=∠PCB，由此即可得出結論；（2）連接OD，先證明四邊形DHBC是平行四邊形，根據平行四邊形的性質可得BC=DH=1，在Rt△ABC中，用銳角三角函數求出∠ACB=60°，進而判斷出DH=OD，求出∠ODH=20°，再求得∠NOH=∠DOC=40°，根據三角形外角的性質可得∠OAD=∠DOC=20°，最后根據圓周角定理及平行線的性質即可求解．

（1）如圖1，∵AC是⊙O的直徑，

∴∠ABC=90°，

∵DE⊥AB，

∴∠DEA=90°，

∴∠DEA=∠ABC，

∴BC∥DF，

∴∠F=∠PBC，

∵四邊形BCDF是圓內接四邊形，

∴∠F+∠DCB=180°，

∵∠PCB+∠DCB=180°，

∴∠F=∠PCB，

∴∠PBC=∠PCB，

∴PC=PB；

（2）如圖2，連接OD，

∵AC是⊙O的直徑，

∴∠ADC=90°，

∵BG⊥AD，

∴∠AGB=90°，

∴∠ADC=∠AGB，

∴BG∥DC，

∵BC∥DE，

∴四邊形DHBC是平行四邊形，

∴BC=DH=1，

在Rt△ABC中，AB=，tan∠ACB=，

∴∠ACB=60°，

∴BC=AC=OD，

∴DH=OD，

在等腰△DOH中，∠DOH=∠OHD=80°，

∴∠ODH=20°，

設DE交AC于N，

∵BC∥DE，

∴∠ONH=∠ACB=60°，

∴∠NOH=180°﹣（∠ONH+∠OHD）=40°，

∴∠DOC=∠DOH﹣∠NOH=40°，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠DOC=20°，

∴∠CBD=∠OAD=20°，

∵BC∥DE，

∴∠BDE=∠CBD=20°．