Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點O在邊AC上，⊙O與邊AC相交于點D、與邊AB相切于點E，過點D作DP∥BC交AB于點P．

（1）求證：PD＝PE；

（2）連接CP，若點E是AP的中點，OD：DC＝2：1，CP＝13，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）⊙O的半徑為2

【解析】

（1）先由平行線的性質(zhì)和圓的切線的判定定理得出PD是⊙O的切線，再根據(jù)切線長定理即可證；

（2）如圖（見解析），連接OE、DE，利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)和題（1）的結(jié)論可得是等邊三角形，再利用直角三角形兩銳角互余可得的度數(shù)，然后利用三角函數(shù)可得半徑與AE的等量關系，從而可知半徑與PD的等量關系，最后在中利用勾股定理求出DC的長，從而可得圓的半徑.

（1）

是⊙O的半徑

∴PD是⊙O的切線

∵PE是⊙O的切線

；

（2）如圖，連接OE、DE

∵點E是AP的中點，且是直角三角形

是等邊三角形

∵PE與⊙O切點E

∴設，則

在中，

則

在中，

，解得

故⊙O的半徑為.