Question

【題目】對于平面直角坐標系xOy中的點P，Q，給出如下定義：若P，Q為某個三角形的頂點，且邊PQ上的高h，滿足h＝PQ，則稱該三角形為點P，Q的“生成三角形”．

（1）已知點A（4，0）；

①若以線段OA為底的某等腰三角形恰好是點O，A的“生成三角形”，求該三角形的腰長；

②若Rt△ABC是點A，B的“生成三角形”，且點B在x軸上，點C在直線y＝2x﹣5上，則點B的坐標為　 　；

（2）⊙T的圓心為點T（2，0），半徑為2，點M的坐標為（2，6），N為直線y＝x+4上一點，若存在Rt△MND，是點M，N的“生成三角形”，且邊ND與⊙T有公共點，直接寫出點N的橫坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①；②（1，0），（3，0）或（7，0）；（2）點N的橫坐標的取值范圍為.

【解析】

（1）①如圖（見解析），設滿足條件的三角形為等腰，過點R作于點H，由等腰三角形的性質得，再根據“生成三角形”的定義可得，最后利用勾股定理即可得；

②依題意，按點分別為直角頂點三種情況討論，根據“生成三角形”的定義和直線的解析式分別建立等式，求解即可；

（2）根據點分別為直角頂點三種情況討論，根據“生成三角形”的定義、結合圓的切線性質列出等式，求解即可.

（1）①如圖，設滿足條件的三角形為等腰，則

過點R作于點H

∵以線段OA為底的等腰恰好是點O，A的“生成三角形”

在中，利用勾股定理得：

故該三角形的腰長為；

②依題意，分以下三種情況討論：

當A為直角頂點時，則

因點A的坐標為

令代入得，即

設點B的坐標為

則，解得或

故點B的坐標為或

當B為直角頂點時，則

設點B的坐標為，則

令代入得，即

則有

兩邊平方化簡得，解得或

故點B的坐標為或

當C為直角頂點時，如圖，過點C作于點D

設點D的坐標為，則

令代入得

由“生成三角形”的定義得

則

又

，即

令，則

化簡得，此方程的根的判別式，方程沒有實數根

則點C不能為的直角頂點

綜上，點B的坐標為，或；

（2）當N為直角頂點時

由點M的坐標可知，點M在直線上

由直線可知，

則當點D在MT所在直線時，是點M，N的“生成三角形”

如圖，點N和是符合條件的兩個臨界位置

由圖可知，點D的坐標為，

在中，

設點N的坐標為

由兩點之間距離公式得

解得，再代入直線得

當點N在處時，圖中也是符合條件的“生成三角形”

此時，恰好與圓T相切，半徑

則是等腰直角三角形，且

則點的坐標為，設點的坐標為

由兩點之間距離公式得

解得，再代入直線得

故當點N為直角頂點時，點N的橫坐標的取值范圍為

當點M為直角頂點時，

如圖，和均平行于x軸，且與圓T分別相切于點F，

由平行線的性質和直線可知，

則和都是等腰直角三角形

因此，和都是符合條件的“生成三角形”， 此時，點N和是符合條件的兩個臨界位置

設點N的坐標為

點F的坐標為

點N的縱坐標為2，即

將代入得

同理可得

故當點M為直角頂點時，點N的橫坐標的取值范圍為

當點D為直角頂點時，同（1）②中，當C為直角頂點時的思路一樣，可證此時不存在符合條件的

綜上，點N的橫坐標的取值范圍為.