Question

【題目】如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點D、E分別在邊AB、AC上，AD＝AE，連接DC，點F、P、G分別為DE、DC、BC的中點．

（1）觀察猜想：圖1中，線段PF與PG的數量關系是　 ，∠FPG＝　 （用含α的代數式表示）

（2）探究證明：當△ADE繞點A旋轉到如圖2所示的位置時，小新猜想（1）中的結論仍然成立，請你證明小新的猜想．

（3）拓展延伸：把△ADE繞點A在平面內自由旋轉，若AD＝2，AB＝6，請直接寫出PF的最大值．

Answer 1

【答案】（1）PF＝PG，180°﹣α；（2）∠FPG＝180°﹣α；證明見解析；（3）PF的最大值為4．

【解析】

（1）根據等腰三角形的性質和三角形的中位線定理解答即可；

（2）連接BD，CE，利用全等三角形的判定和性質以及三角形中位線定理解答；

（3）當EC最大時，FP最大，進而解答即可．

（1）如圖1，∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點D、E分別在邊AB、AC上，AD＝AE，

∴AB﹣AD＝AC﹣AE，

即DB＝CE，

∵點F、P、G分別為DE、DC、BC的中點，

∴PF＝CE，PG＝BD，

∴PF＝PG，

∵點F、P、G分別為DE、DC、BC的中點，

∴PG∥BD，PF∥CE，

∴∠PGC＝∠DBC，∠DPF＝∠DCE，

∴∠FPG＝∠DPF+∠DPG

＝∠DCE+∠PGC+∠DCB

＝∠ACD+∠ACE+∠DBC+∠DCB

＝∠ACD+∠ABD+∠DBC+∠DCB

＝∠ABC+∠ACB，

∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC

∴∠FPG＝180°﹣α；

故答案為PF＝PG，180°﹣α；

（2）如圖2，連接BD，CE，由題意知AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，

∵點F、P、G分別為DE、DC、BC的中點，

∴PF，PG分別是△CDE和△CDB的中位線，

∴PG∥BD，PF∥CE，

∴∠PGC＝∠DBC，∠DPF＝∠DCE，

∴∠FPG＝∠DPF+∠DPG

＝∠DCE+∠PGC+∠DCB

＝∠ACD+∠ACE+∠DBC+∠DCB

＝∠ACD+∠ABD+∠DBC+∠DCB

＝∠ABC+∠ACB，

∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC

∴∠FPG＝180°﹣α；

（3）當EC最大時，FP最大，EC的最大值為AE+AC＝8，

∴PF＝EC，即PF的最大值為4．