Question

【題目】兩塊等腰直角三角形紙片AOB和COD按圖1所示放置，直角頂點重合在點O處，AB=25，CD=17．保持紙片AOB不動，將紙片COD繞點O逆時針旋轉α（0°<α<90°）角度，如圖2所示．

（1）利用圖2證明AC=BD且AC⊥BD；

（2）當BD與CD在同一直線上（如圖3）時，求AC的長和α的正弦值．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）AC=7,

【解析】試題分析：（1）圖形經過旋轉以后，明確沒有變化的邊長，根據全等三角形的判定定理證明圖中的△COA≌△DOB，從而證明AC=BD，做輔助△ABE，證明∠AEB=90°，從而得到AC⊥BD；

（2）在△COA中，根據余弦定理，得出cosα的值，從而求出sinα的值.

試題解析：（1）如圖2中，延長BD交OA于G，交AC于E．

∵∠AOB=∠COD=90°，

∴∠AOC=∠DOB，

在△AOC和△BOD中， ，

∴△AOC≌△BOD，

∴AC=BD，∠CAO=∠DBO，

∵∠DBO+∠GOB=90°，

∵∠OGB=∠AGE，

∴∠CAO+∠AGE=90°，

∴∠AEG=90°，

∴BD⊥AC．

（2）如圖3中，設AC=x，

∵BD、CD在同一直線上，BD⊥AC，

∴△ABC是直角三角形，

∴AC2+BC2=AB2，

∴x2+（x+17）2=252，

解得x=7，

∵∠ODC=∠α+∠DBO=45°,∠ABC+∠DBO=45°,

∴∠α=∠ABC，

∴sinα=sin∠ABC==．