Question

【題目】在ABCD中，過點D作DE⊥AB于點E，點F 在邊CD上，DF=BE，連接AF，BF．
（1）求證：四邊形BFDE是矩形；
（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求證：AF平分∠DAB．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD．

∵BE∥DF，BE=DF，

∴四邊形BFDE是平行四邊形．

∵DE⊥AB，

∴∠DEB=90°，

∴四邊形BFDE是矩形；

（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥DC，

∴∠DFA=∠FAB．

在Rt△BCF中，由勾股定理，得

BC= = =5，

∴AD=BC=DF=5，

∴∠DAF=∠DFA，

∴∠DAF=∠FAB，

即AF平分∠DAB．

【解析】（1）根據平行四邊形的性質，可得AB與CD的關系，根據平行四邊形的判定，可得BFDE是平行四邊形，再根據矩形的判定，可得答案；（2）根據平行線的性質，可得∠DFA=∠FAB，根據等腰三角形的判定與性質，可得∠DAF=∠DFA，根據角平分線的判定，可得答案．
【考點精析】掌握角平分線的性質定理和勾股定理的概念是解答本題的根本，需要知道定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．