Question

【題目】閱讀下面材料：

在數學課上，老師提出如下問題：

已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形；

求作：菱形AECF，使點E，F分別在BC，AD上．

小凱的作法如下：

(1)連接AC；

(2)作AC的垂直平分線EF分別交BC，AD于E，F．

(3)連接AE，CF

所以四邊形AECF是菱形．

老師說：“小凱的作法正確”．

回答下列問題：

根據小凱的做法，小明將題目改編為一道證明題，請你幫助小明完成下列步驟：

(1)已知：在平行四邊形ABCD中，點E、F分別在邊BC、AD上，　 　．(補全已知條件)

求證：四邊形AECF是菱形．

(2)證明：(寫出證明過程)

Answer 1

【答案】（1）EF垂直平分AC；（2）證明見解析

【解析】

（1）根據菱形對角線互相垂直且平分添加即可；（2）如圖：根據垂直平分線的性質可證明AE=CE、AF=CF，再由ABCD是平行四邊形可證明∠FAC=∠ECA、∠AFE=∠FEC，即可證明△AOF≌△COE，進而證明AF=CE，即可證明AE=EC=CF=FA，可證明四邊形AECF是菱形.

（1）添加EF垂直平分AC；

（2）∵EF垂直平分AC，

∴AF=CF，AE=EC，AO=CO，

∵AF//CE，

∴∠FAC=∠ECA、∠AFE=∠FEC，

∵AO=CO，

∴△AOF≌△COE，

∴AF=CE，

∴AE=EC=CF=FA，

∴四邊形AECF是菱形.