Question

【題目】如圖，ABCD為正方形，∠CAB的角平分線交BC于點E，過點C作CF⊥AE交AE的延長線于點G，CF與AB的延長線交于點F，連接BG、DG、與AC相交于點H，則下列結論：①ABECBF；②GF=CG；③BG⊥DG；④，其中正確的是______．

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

根據正方形的性質和AG⊥CF，找到邊，角相等，然后用ASA證得ABECBF，故①正確；根據條件證明得出ACF是等腰三角形，利用三線合一得出GF=CG，故②正確；延長DG,AB交于點M，證明得出DBM是等腰三角形和G是DM中點，根據三線合一得出BG⊥DG，故③正確；證DCHACE.所以==，所以AE=DH，故④不正確.

∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠CBF=90°

∴∠BAE+∠AEB=90°

∵AG⊥CF

∴∠BCF+∠CEG=90°

∵∠BEA=∠CEG

∴∠BAE=∠BCF

∴ABECBF，故①正確；

∵AG平分∠FAC，AE⊥CF

∴∠CAG=∠FAG，∠AGC=∠AGF=90°

又∵AG=AG，∴ACGAFG.

∴CG=FG，故②正確；

延長DG，AB交于點M，在DCG和MFG中，∠DCG=∠MFG，FG=CG，∠MGF=∠DGC

DCGMFG

∴DG=MG，FM=DC=AB

∴AF=BM．

∵AF=AC，∴BM=AC=BD

∴BG⊥DG，故③正確；

∵∠CDH=∠CAE，∠DCH=∠ACE

∴DCHACE

∴==.

∴AE=DH，故④不正確.

故答案為：①②③