Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知點A(2，3)，B(6，3)，連接AB．若對于平面內一點P，線段AB上都存在點Q，使得PQ≤1，則稱點P是線段AB的鄰近點．

（1）判斷點D(，)是否是線段AB的鄰近點．________（填是或否）；

（2）若點H(m，n)在一次函數y＝x－1的圖象上，且是線段AB的鄰近點，求m的取值范圍；

（3）若一次函數y＝x＋b的圖象上至少存在一個鄰近點，直接寫出b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）是；（2）3≤m≤5；（3）﹣﹣3≤b≤+1

【解析】

（1）根據A、B的坐標得出AB∥x軸，根據點P到直線AB的距離≤1，求出當橫坐標2≤x≤6縱坐標2≤y≤4范圍內時，點是線段AB的“臨近點”，看點的縱坐標是否在y的范圍內即可以及在A點的左邊到A點的距離≤1，或在B點的右邊到B點的距離≤1，點是線段AB的“臨近點”；

（2）先求得直線y＝x﹣1與線段AB交于（4，3），然后分兩種情況討論：①當m≥4時，根據線段AB的“臨近點”的縱坐標的范圍是2≤n≤4，把n＝2和n＝4分別代入n＝m﹣1，求出相應的m值，即可得出點的橫坐標m的范圍；

（3）如圖，分別求得N1、N2的坐標，然后根據待定系數法分別求得橫坐標為2，縱坐標為3+或橫坐標為6，縱坐標為3﹣時，直線y＝x+b的b值，依此可求b的取值范圍．

（1）點D是線段AB的“鄰近點”；

∵AD＝＝1，

∴D（，）是線段AB的“臨近點”．

（2）如圖1，∵點H（m，n）是線段AB的“鄰近點”，點H（m，n）在直線y＝x﹣1上，

∴n＝m﹣1；

直線y＝x﹣1與線段AB交于（4，3）

①當m≥4時，有n＝m﹣1≥3，

又AB∥x軸，

∴此時點H（m，n）到線段AB的距離是n﹣3，

∴0≤n﹣3≤1，

∴4≤m≤5，

②當m≤4時，有n＝m﹣1，

∴n≤3，

又AB∥x軸，

∴此時點H（m，n）到線段AB的距離是3﹣n，

∴0≤3﹣n≤1，

∴3≤m≤4，

綜上所述，3≤m≤5；

（3）①如圖2，

有直線y＝x+b可知∠AN1H＝45°，

∵AH＝1，

∴AN1＝，

∴N1（2，3+），

把橫坐標2，縱坐標3+代入直線y＝x+b，可得3+＝2+b，解得b＝+1；

②如圖3，

同理證得N2（6，3﹣），

把橫坐標6，縱坐標3﹣代入直線y＝x+b，可得3﹣＝6+b，解得b＝﹣﹣3；

故b的取值范圍為﹣﹣3≤b≤+1．