Question

【題目】等邊三角形ABC中，AB＝3，點D在直線BC上，點E在直線AC上，且∠BAD＝∠CBE，當BD＝1時，則AE的長為_____．

Answer 1

【答案】2或4或或

【解析】

分四種情形分別畫出圖形，利用全等三角形或相似三角形的性質解決問題即可.

解：分四種情形：

①如圖1中，當點D在邊BC上，點E在邊AC上時．

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝BC＝AC＝3，∠ABD＝∠BCE＝60°，

∵∠BAD＝∠CBE，

∴△ABD≌△BCE（ASA），

∴BD＝EC＝1，

∴AE＝AC﹣EC＝2；

②如圖2中，當點D在邊BC上，點E在AC的延長線上時．作EF∥AB交BC的延長線于F．

∵∠CEF＝∠CAB＝60°，∠ECF＝∠ACB＝60°，

∴△ECF是等邊三角形，

設EC＝CF＝EF＝x，

∵∠ABD＝∠BFE＝60°，∠BAD＝∠FBE，

∴△ABD∽△BFE，

∴，即，解得x＝，

∴AE＝AC+CE＝；

③如圖3中，當點D在CB的延長線上，點E在AC的延長線上時．

∵∠ABD＝∠BCE＝120°，AB＝BC，∠BAD＝∠CBE，

∴△ABD≌△BCE（ASA），

∴EC＝BD＝1，

∴AE＝AC+EC＝4；

④如圖4中，當點D在CB的延長線上，點E在邊AC上時，作EF∥AB交BC于F，則△EFC是等邊三角形．

設EC＝EF＝CF＝m，

由△ABD∽△BFE，可得，

∴，解得m＝，

∴AE＝AC﹣EC＝，

綜上所述，滿足條件的AE的值為2或4或或．

故答案為：2或4或或．