Question

【題目】如圖1矩形ABCD中，點E是CD邊上的動點（點E不與點C，D重合），連接AE，過點A作AF⊥AE交CB延長線于點F，連接EF，點G為EF的中點，連接BG．

（1）求證：△ADE∽△ABF；

（2）若AB＝20，AD＝10，設DE＝x，點G到直線BC的距離為y．

①求y與x的函數關系式；②當時，x的值為　 　；

（3）如圖2，若AB＝BC，設四邊形ABCD的面積為S，四邊形BCEG的面積為S1，當時，DE：DC的值為　 　．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①，②；（3）.

【解析】

（1）根據兩角對應相等的兩個三角形相似即可證明．

（2）①如圖1中，作GH⊥BF于H．利用三角形的中位線定理，推出EC＝2y，再根據DE+EC＝20，即可解決問題．

②由，可以假設EC＝24k，BG＝13k，利用相似三角形的性質構建方程求出k即可解決問題．

（3）如圖2中，連接BE，設DE＝a，CD＝BC＝b．構建一元二次方程，即可解決問題．

解：（1）證明：如圖1中，

∵AE⊥AF，

∴∠EAF＝90°，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BAD＝∠ABC＝∠ABF＝∠D＝90°，

∴∠EAF＝∠BAD，

∴∠FAB＝∠DAE，

∵∠ABF＝∠D＝90°，

∴△ADE∽△ABF．

（2）①如圖1中，作GH⊥BF于H．

∵∠GHF＝∠C＝90°，

∴GH∥EC，

∵FG＝GE，

∴FH＝HC，

∴EC＝2GH＝2y，

∵DE+EC＝CD＝AB＝20，

∴x+2y＝20，

∴y＝﹣x+10（0＜x＜20）．

②∵，

∴可以假設EC＝24k，BG＝13k，

∵EC＝2GH，

∴GH＝12k，

∴

∴FH＝CH＝5k+10，

∴FB＝10k+10，

∵

∴x＝20﹣24k，

∵△ADE∽△ABF，

∴

∴

∴k＝

∴x＝

故答案為：

（3）如圖2中，連接BE，設DE＝a，CD＝BC＝b．

易證△ADE≌△ABF，可得BF＝DE＝a，

∴

∵S＝b2，S＝4S1，

∴b2＝2b2﹣a2﹣ab，

∴a2+ab﹣b2＝0，

∴

∴或（舍棄），

∴

故答案為: