Question

【題目】已知：如圖，在平面直角坐標系中，A(a，0)、B(0，b)，且|a＋2|＋(b＋2a)2＝0，點P為x軸上一動點，連接BP，在第一象限內作BC⊥AB且BC＝AB

(1) 求點A、B的坐標

(2) 如圖1，連接CP．當CP⊥BC時，作CD⊥BP于點D，求線段CD的長度

(3) 如圖2，在第一象限內作BQ⊥BP且BQ＝BP，連接PQ．設P(p，0)，直接寫出S△PCQ＝_____

Answer 1

【答案】（1）A（-2,0），B（0，4）；（2）CD=2；（3）

【解析】

（1）由非負數的性質，可求出a、b的值，得到A、B的坐標；

（2）過C作CE⊥OB于E，與PB交于F，易證△AOB≌△BEC，可得OA=BE=2，即E為OB中點，所以EF為△BOP的中位線，F為Rt△BCP斜邊BP上的中點，所以，所以∠BCF=∠CBD=∠ABO，再證△AOB≌△CDB即可得CD=OA.

（3）過B作BG⊥CQ于點G，延長QC與x軸交于H，通過證△ABP≌△CBQ，△BOP≌△BGQ可推出OBGH為矩形，以CQ為底，PH為高求面積.

解：（1）∵|a＋2|＋(b＋2a)2＝0

∴a+2=0，b+2a=0，解得a=-2，b=4，

∴A（-2,0），B（0，4）

（2）如圖所示，過C作CE⊥OB于E，與PB交于F，

∵BC⊥AB，∴∠ABO+∠EBC=90°，

在Rt△BCE中，∠EBC+∠BCE=90°，

∴∠ABO=∠BCE

在△AOB和△BEC中，

∴△AOB≌△BEC（AAS）

∴BE=AO=2，又∵OB=4，∴E為OB的中點，

∵EC∥OP，∴EF為△BOP的中位線，則F為BP的中點，

在Rt△BCP中，CF為斜邊上的中線，

∴

∴∠BCE=∠CBD=∠ABO

在△AOB和△CDB中

∴△AOB≌△CDB（AAS）

∴CD=AO=2

（3）如下圖所示，過B作BG⊥CQ于點G，延長QC與x軸交于H，

∵∠ABP+∠PBC=90°，∠PBC+CBQ=90°，

∴∠ABP=∠CBQ

在△ABP與△CBQ中，

∴△ABP≌△CBQ（SAS）

∴∠BPO=∠BQG，CQ=AP=2+p，

在△BOP和△BGQ中，

∴△BOP≌△BGQ（AAS）

∴∠OBP=∠GBQ，BG=BO=4

又∵∠GBQ+∠PBG=90°

∴∠OBP+∠PBG=90°，即∠OBG=90°，

在四邊形OBGH中，∠OBG=∠BOG=∠BGH=90°，

∴∠OHG=90°，∴PH是△PCQ中CQ邊上的高，

PH=OH-OP=4-p

∴