Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝2x+6與x軸交于點A，與y軸交于點B，過點B的直線交x軸于點C，且AB＝BC．

（1）求直線BC的解析式；

（2）點P為線段AB上一點，點Q為線段BC延長線上一點，且AP＝CQ，設點Q橫坐標為m，求點P的坐標（用含m的式子表示，不要求寫出自變量m的取值范圍）；

（3）在（2）的條件下，點M在y軸負半軸上，且MP＝MQ，若∠BQM＝45°，求直線PQ的解析式．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣2x+6；（2）點P（m﹣6，2m﹣6）；（3）y＝﹣x+

【解析】

（1）先求出點A，點B坐標，由等腰三角形的性質可求點C坐標，由待定系數法可求直線BC的解析式；

（2）證明△PGA≌△QHC（AAS），則PG＝HQ＝2m﹣6，故點P的縱坐標為：2m﹣6，而點P在直線AB上，即可求解；

（3）由“SSS”可證△APM≌△CQM，△ABM≌△CBM，可得∠PAM＝∠MCQ，∠BQM＝∠APM＝45°，∠BAM＝∠BCM，由“AAS”可證△APE≌△MAO，可得AE＝OM，PE＝AO＝3，可求m的值，進而可得點P，點Q的坐標，即可求直線PQ的解析式．

（1）∵直線y＝2x+6與x軸交于點A，與y軸交于點B，

∴點B(0，6)，點A(﹣3，0)，

∴AO＝3，BO＝6，

∵AB＝BC，BO⊥AC，

∴AO＝CO＝3，

∴點C(3，0)，

設直線BC解析式為：y＝kx+b，則，解得：，

∴直線BC解析式為：y＝﹣2x+6；

（2）如圖1，過點P作PG⊥AC于點G，過點Q作HQ⊥AC于點H，

∵點Q橫坐標為m，

∴點Q(m，﹣2m+6)，

∵AB＝CB，

∴∠BAC＝∠BCA＝∠HCQ，

又∵∠PGA＝∠QHC＝90°，AP＝CQ，

∴△PGA≌△QHC（AAS），

∴PG＝HQ＝2m﹣6，

∴點P的縱坐標為：2m﹣6，

∵直線AB的表達式為：y＝2x+6，

∴2m﹣6＝2x+6，解得：x＝m﹣6，

∴點P(m﹣6，2m﹣6)；

（3）如圖2，連接AM，CM，過點P作PE⊥AC于點E，

∵AB＝BC，BO⊥AC，

∴BO是AC的垂直平分線，

∴AM＝CM，且AP＝CQ，PM＝MQ，

∴△APM≌△CQM（SSS）

∴∠PAM＝∠MCQ，∠BQM＝∠APM＝45°，

∵AM＝CM，AB＝BC，BM＝BM，

∴△ABM≌△CBM（SSS）

∴∠BAM＝∠BCM，

∴∠BCM＝∠MCQ，且∠BCM+∠MCQ＝180°，

∴∠BCM＝∠MCQ＝∠PAM＝90°，且∠APM＝45°，

∴∠APM＝∠AMP＝45°，

∴AP＝AM，

∵∠PAO+∠MAO＝90°，∠MAO+∠AMO＝90°，

∴∠PAO＝∠AMO，且∠PEA＝∠AOM＝90°，AM＝AP，

∴△APE≌△MAO（AAS）

∴AE＝OM，PE＝AO＝3，

∴2m﹣6＝3，

∴m＝，

∴Q(，﹣3)，P(﹣，3)，

設直線PQ的解析式為：y＝ax+c，

∴，解得：，

∴直線PQ的解析式為：y＝﹣x+．