Question

【題目】如圖①所示，直線L:yax10a與x軸負半軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點.

（1）當OAOB時，試確定直線L的解析式；

（2）在（1）的條件下，如圖②所示，設Q為AB延長線上一點，作直線OQ，過A、B兩點分別作AMOQ于M，BNOQ于N，若AM8,BN6，求MN的長.

（3）當a取不同的值時，點B在y軸正半軸上運動，分別以OB、AB為邊，點B為直角頂點在第一、二象限內作等腰直角OBF和等腰直角ABE，連接EF交y軸于P點，如圖③，問：當點B在y軸正半軸上運動時，試猜想PB的長是否為定值，若是，請求出其值，若不是，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）L的解析式y=x+10；（2）MN =14；（3）PB的長為定值，PB=5，見解析.

【解析】

（1）先求出直線y=ax+10a與x、y軸的交點坐標，然后由OA=OB可求出a的值，進而確定直線解析式；

（2）用AAS證明△AMO≌△ONB，由全等三角形的性質得ON=AM，OM=BN，進一步即可求出MN的值；

（3）過點E作EG⊥y軸于G點，先證明△ABO≌△EGB，得BG=AO=10，OB=EG，再證明△BFP≌△GEP，得BP=GP=BG=5，于是問題得解.

解：（1）（1）∵直線L：y=ax+10a，

∴A（-10，0），B（0，10a），

∵直線交y軸正半軸，∴10a＞0，∴a＞0.

由OA=OB得：10a=10，∴a=1，

∴直線解析式為：y=x+10；

（2）∵AM⊥OQ，BN⊥OQ，∴∠AMO=∠BNO=90°，

∴∠AOM+∠MAO=90°，

∵∠AOM+∠BON=90°，∴∠MAO=∠NOB.

在△AMO和△OBN中，

∴△AMO≌△ONB．∴ON=AM，OM=BN，

∵AM=8，BN=6，∴MN=AM+BN=14.

（3）PB的長為定值.

理由：如圖，過點E作EG⊥y軸于G點，

∵△AEB為等腰直角三角形，∴AB=EB，∠ABO+∠EBG=90°，

∵EG⊥BG，∴∠GEB+∠EBG=90°.

∴∠ABO=∠GEB.

在△ABO和△EGB中

∴△ABO≌△EGB，∴BG=AO=10，OB=EG，

∵△OBF為等腰直角三角形，∴OB=BF，∴BF=EG.

在△BFP和△GEP中

∴△BFP≌△GEP，∴BP=GP=BG=5.

即PB的長為定值.