Question

【題目】問題探究

（1）請在圖①中作出兩條直線，使它們將圓面四等分；

（2）如圖②，是正方形內一定點，請在圖②中作出兩條直線（要求其中一條直線必須過點），使它們將正方形的面積四等分：

問題解決

（3）如圖③，在四邊形中，，點是的中點如果，且，那么在邊上足否存在一點，使所在直線將四邊形的面積分成相等的兩部分？若存在，求出的長：若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析；（3）存在，BQ=b

【解析】

（1）畫出互相垂直的兩直徑即可；

（2）連接AC、BD交于O，作直線OM，分別交AD于P，交BC于Q，過O作EF⊥OM交DC于F，交AB于E，則直線EF、OM將正方形的面積四等分，根據三角形的面積公式和正方形的性質求出即可；

（3）當BQ=CD=b時，PQ將四邊形ABCD的面積二等份，連接BP并延長交CD的延長線于點E，證△ABP≌△DEP求出BP=EP，連接CP，求出S△BPC=S△EPC，作PF⊥CD，PG⊥BC，由BC=AB+CD=DE+CD=CE，求出S△BPC-S△CQP+S△ABP=S△CPE-S△DEP+S△CQP，即可得出S四邊形ABQP=S四邊形CDPQ即可．

解：（1）如圖1所示，

（2）連接AC、BD交于O，作直線OM，分別交AD于P，交BC于Q，過O作EF⊥OM交DC于F，交AB于E，

則直線EF、OM將正方形的面積四等分，

理由是：∵點O是正方形ABCD的對稱中心，

∴AP=CQ，EB=DF，

在△AOP和△EOB中

∵∠AOP=90°-∠AOE，∠BOE=90°-∠AOE，

∴∠AOP=∠BOE，

∵OA=OB，∠OAP=∠EBO=45°，

∴△AOP≌△EOB，

∴AP=BE=DF=CQ，

設O到正方形ABCD一邊的距離是d，

則（AP+AE）d=（BE+BQ）d=（CQ+CF）d=（PD+DF）d，

∴S四邊形AEOP=S四邊形BEOQ=S四邊形CQOF=S四邊形DPOF，

直線EF、OM將正方形ABCD面積四等份；

（3）存在，當BQ=CD=b時，PQ將四邊形ABCD的面積二等份，

理由是：如圖③，連接BP并延長交CD的延長線于點E，

∵AB∥CD，

∴∠A=∠EDP，

∵在△ABP和△DEP中

∴△ABP≌△DEP（ASA），

∴BP=EP，

連接CP，

∵△BPC的邊BP和△EPC的邊EP上的高相等，

又∵BP=EP，

∴S△BPC=S△EPC，

作PF⊥CD，PG⊥BC，則BC=AB+CD=DE+CD=CE，

由三角形面積公式得：PF=PG，

在CB上截取CQ=DE=AB=a，則S△CQP=S△DEP=S△ABP

∴S△BPC-S△CQP+S△ABP=S△CPE-S△DEP+S△CQP

即：S四邊形ABQP=S四邊形CDPQ，

∵BC=AB+CD=a+b，

∴BQ=b，

∴當BQ=b時，直線PQ將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分．