Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是菱形，AB＝4，且∠ABC＝∠ABE＝60°，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接EN、AM、CM，則AM+BM+CM的最小值為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

根據“兩點之間線段最短”，當M點位于BD與CE的交點處時，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的長．

如圖，連接MN，∵△ABE是等邊三角形，

∴BA=BE，∠ABE=60°．

∵∠MBN=60°，

∴∠MBN﹣∠ABN=∠ABE﹣∠ABN．

即∠MBA=∠NBE．

又∵MB=NB，

∴△AMB≌△ENB（SAS），

∴AM=EN，

∵∠MBN=60°，MB=NB，

∴△BMN是等邊三角形．

∴BM=MN．

∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．

根據“兩點之間線段最短”，得EN+MN+CM=EC最短

∴當M點位于BD與CE的交點處時，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的長，

過E點作EF⊥BC交CB的延長線于F，

∴∠EBF=180°﹣120°=60°，

∵BC=4，

∴BF=2，EF=2，在Rt△EFC中，

∵EF2+FC2=EC2，

EC=4．

故答案為：4.