Question

【題目】如圖在⊙O中，BC=2，AB=AC，點D為AC上的動點，且cosB=．

（1）求AB的長度；

（2）求ADAE的值；

（3）過A點作AH⊥BD，求證：BH=CD+DH．

Answer 1

【答案】（1）AB=；（2）ADAE =10；（3）見解析.

【解析】

（1）作AM垂直于BC，由AB=AC，利用三線合一得到CM等于BC的一半，求出CM的長，再由cosB的值，利用銳角三角函數定義求出AB的長即可；

（2）連接DC，由等邊對等角得到一對角相等，再由圓內接四邊形的性質得到一對角相等，根據一對公共角，得到三角形EAC與三角形CAD相似，由相似得比例求出所求即可；

（3）在BD上取一點N，使得BN=CD，利用SAS得到三角形ACD與三角形ABN全等，由全等三角形對應邊相等及等量代換即可得證．

（1）作AM⊥BC，

∵AB=AC，AM⊥BC，BC=2BM，

∴CM=BC=1，

∵cosB=，

在Rt△AMB中，BM=1，

∴AB=；

（2）連接DC，

∵AB=AC，

∴∠ACB=∠ABC，

∵四邊形ABCD內接于圓O，

∴∠ADC+∠ABC=180°，

∵∠ACE+∠ACB=180°，

∴∠ADC=∠ACE，

∵∠CAE公共角，

∴△EAC∽△CAD，

∴，

∴ADAE=AC2=10；

（3）在BD上取一點N，使得BN=CD，

在△ABN和△ACD中 AB=AC,∠3=∠1，BN=CD，

∴△ABN≌△ACD（SAS），

∴AN=AD，

∵AN=AD，AH⊥BD，

∴NH=HD，

∵BN=CD，NH=HD，

∴BN+NH=CD+HD=BH．