Question

【題目】如圖1，四邊形ACDE是美國第二十任總統伽菲爾德驗證勾股定理時用到的一個圖形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED邊長，易知AE=，這時我們把關于x的形如的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程”．

請解決下列問題：

（1）判斷方程是否是 “勾系一元二次方程”；并說明理由．

（2）求證：關于的“勾系一元二次方程” 必有實數根；

（3）如圖2，已知AB、CD是半徑為5的⊙O的兩條平行弦，AB=2a，CD=2b，a≠b，關于x的方程是“勾系一元二次方程”，求∠BAC的度數

Answer 1

【答案】（1）是，理由詳見解析；（2）詳見解析；（3）45°

【解析】

（1）根據“勾系一元二次方程”的定義即可判斷；

（2）利用勾股定理以及“勾系一元二次方程”的定義即可解決問題；

（3）如圖2中，連接OC，OB，作OE⊥CD于E，作EO的延長線交AB于F，利用全等三角形的性質推導出∠COB=90°即可解決問題．

（1）是 “勾系一元二次方程”，理由如下：

∵中，

∴

∴，能構成直角三角形

∴方程是“勾系一元二次方程”

（2）∵關于的方程是“勾系一元二次方程”

∴構成直角三角形，c是斜邊

∴

∵

∴

∴關于的“勾系一元二次方程”必有實數根．

（3）在圖2中，連接OC，OB，作OE⊥CD于E，作EO的延長線交AB于F，如下圖：

∵關于x的方程是“勾系一元二次方程”

∴，5構成直角三角形，5是斜邊

∴

∵AB//CD，OE⊥CD

∴OF⊥AB

∴∠OEC=∠OFB= 90°

∴

∵AB=2a，CD=2b

∴

∵，

∴

∴

∴

∴

∵

∴

∴

∴