Question

【題目】如圖，正方形ABCD和正方形OPEF中，邊AD與邊OP重合，，，點M、N分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，且.將正方形OPEF以每秒2個單位的速度向右平移，當點F與點B重合時，停止平移．設平移時間為t秒.

(1)請求出t的取值范圍；

(2)猜想：正方形OPEF的平移過程中，OE與NM的位置關系．并說明理由．

(3)連結DE、BE．當的面積等于7時，試求出正方形OPEF的平移時間t的值．

備用圖

Answer 1

【答案】（1）；（2）OE⊥MN，證明見詳解；（3）t的值為： 或.

【解析】

（1）根據題意，當AD與OP重合時，可求出AF=OF=2，BF=6，然后求出時間的最大值，即可得到t的取值范圍；

（2）連接AC，BD，OE，在運動過程中有OE∥AC，由∠CNM=45°=∠CDB，得到BD∥MN，由AC⊥BD，得到AC⊥MN，即可得到OE⊥MN；

（3）由勾股定理求出BD=，由面積公式，求出△BDE的高為，連接DE，BE，連接OE與BD相交于點H，根據正方形OPEF求出OE的長度，然后得到OH的長度，由等腰三角形△OBH中，根據勾股定理求得OB的長度，然而OB=（8-2t），最后求出t的值.

（1）根據題意，當AD與OP重合時，

∴，

∴，

當點F到達點B時的時間為：（秒），

∴的取值范圍是：；

（2）OE與MN是垂直的關系；

如圖，連接AC，BD，OE，

由平移性質得：OE∥AC，

由正方形性質可知，

∵∠CDB=45°=∠CNM

∴MN∥BD，

∵AC⊥BD，

∴AC⊥MN

∴OE⊥MN；

（3）連接DE，BE，連接OE與BD相交于點H，在正方形ABCD中，有AB=AD=8，

∴BD=，

由（2）知，OE⊥BD，則EH是△BDE的高，

由三角形面積公式，得：，

∴，

∴，

① 當點E在BD的下方時，如下圖：

在正方形OPEF中，，

∴，

∵△OBH是等腰直角三角形，OH=BH

∵運動過程中，AO=2t，則OB=（8-2t）

由勾股定理得：，

∴，

解得：；

②當點E在BD的上方時，如圖：

此時，，

由勾股定理得：，

解得：，

∴t的值為 或.