Question

【題目】如圖，△ABC是邊長為3cm的等邊三角形，點P，Q分別從頂點A、B同時出發，沿線段AB，BC運動，且它們的速度都為1cm/s.當點P到達點B時，P、Q兩點停止運動.設點P的運動時間為t（s），

（1）當t為何值時，△PBQ是直角三角形？

（2）連接AQ、CP，相交于點M，則點P，Q在運動的過程中，∠CMQ會變化嗎？若變化,請說明理由：若不變，請求出它的度數.

Answer 1

【答案】(1)1秒或2秒;(2)見解析.

【解析】

（1）設時間為t，則AP=BQ=t，PB=3-t.分兩種情況討論：①∠PQB=90°；②∠BPQ=90°.逐一求解即可.

（2）先證明△ABQ≌△CAP，得到∠BAQ=∠ACP，于是可得∠CMQ=∠BAC=60°.

解：（1）設時間為t，則AP=BQ=t，PB=3-t

①當∠PQB=90°時，

∵∠B=60°，

∴PB=2BQ，得3-t=2t，t=1；

②當∠BPQ=90°時，

∵∠B=60°，

∴BQ=2BP，得t=2（3-t），

∴t=2,

∴當第1秒或第2秒時，△PBQ為直角三角形.

（2）∠CMQ不會發生變化，∠CMO=60°.理由如下：

在△ABQ與△CAP中，

，

∴△ABQ≌△CAP（SAS），

∴∠BAQ=∠ACP，

∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°.