Question

【題目】如圖，已知四邊形和四邊形為正方形，點在線段上，點在同一直線上，連接，并延長交于點．

（1）求證：．

（2）若，，求線段的長．

（3）設，，當點H是線段GC的中點時，則與滿足什么樣的關系式.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3） （ ）.

【解析】

（1）先證明△GDC≌△EDA，得∠GCD=∠EAD，推出AH⊥GC；

（2）根據S△AGC=AGDC=GCAH，即可解決問題；

（3）根據垂直平分線的性質可得結論.

（1）在△GDC和△EDA中，

，

∴△GDC≌△EDA，

∴∠GCD=∠EAD，

∵∠HEC=∠DEA，

∴∠EHC=∠EDA=90°，

∴AH⊥GC；

（2）∵AD=3，DE=1，

∴GC=AE=，

∵∠DAE+∠AED=90°，∠DEA=∠CEH，

∴∠DCG+∠HEC=90°，

∴∠EHC=90°，

∴AH⊥GC，

∵S△AGC=AGDC=GCAH，

∴×4×3=××AH，

∴AH=．

（3）由（1）得，AH即GC的中垂線

∴AG=AC （中垂線的性質定理）

∴ （ ）